sábado, 4 de mayo de 2013

nx <= (n+1)y

La siguiente demostración tiene al menos un error, ¿cuál es?

Sea \(n=1,2,\dots\) si \(nx\leq(n+1)y\) para toda \(n\), entonces \(x\leq y\) para todo \(x,y\in R^+\).

Demostración:

Sea \(nx\leq(n+1)y\), entonces podemos reescribirla como \(\frac{x}{y}\leq\frac{n+1}{n}\), donde es evidente que para todo \(n=1,2,\dots\) se cumple que \(1\leq\frac{n+1}{n}\). Luego, restando las desigualdades tenemos

$$\frac x y -1\leq\frac{n+1}n-\frac{n+1}n$$
$$\frac x y -1\leq 0$$
$$\frac x y\leq 1$$
$$x\leq y$$
$$\blacksquare$$

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