martes, 7 de mayo de 2013

Inducción matemática

Este cuatrimestre se pidieron (específicamente en Variable compleja) varias demostraciones por inducción matemática, que aunque no fueron tan complicadas no está de más un repasito.

¿Cómo funciona la inducción matemática? A partir de una proposición para un número \(n\), si se demuestra que se cumple para el número \(n+1\) entonces es válido asumir que se cumplirá para todos los números a partir de dicha \(n\) pues cada número mayor puede verse como el anterior más \(1\).

Luego, para estar seguros que se cumplirá para todos los números naturales  simplemente se demuestra para el inicial, \(n=1\), y aplicando el razonamiento del párrafo anterior se puede afirmar que se cumple para todos los números siguientes, es decir, para todo \(n=1, 2, \dots\).

Por ejemplo, el Teorema del binomio, cuyo término \(n\)-ésimo, \(A_n\), se representa por la fórmula
$$(a+b)^n=a^n+\frac n 1 a^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}a^{n-2}b^2+\dots+\frac{n(n-1)(n-2)\dots\cdot2}{1\cdot2\cdot\dots\cdot(n-1)}b^{n-1}+b^n$$
que puede abreviarse con el coeficiente binomial
$$\frac{n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot(n-k+1)}{1\cdot2\cdot\dots\cdot k}=\frac {n!} {k!(n-k)!}=\binom n k$$
para \(k=1, 2, \dots, (n-1)\) y \(\binom {n}{0}=\binom {n}{n} = 1\), de la siguiente manera:
$$(a+b)^n=\binom n 0 a^n+\binom n 1 a^{n-1}b+\binom n 2 a^{n-2}b^2+\dots+\binom n {n-1} a b^{n-1}+\binom n n b^n$$
Si se multiplica \(A_n\) por \((a+b)\) se tiene
$$(a+b)^{n+1}=(a+b)\left[\binom n 0 a^n+\binom n 1 a^{n-1}b+\dots+\binom n n b^n\right]$$
donde agrupamos los términos de acuerdo a los factores comunes \(a^k\) y \(b^k\):
$$(a+b)^{n+1}=\binom n 0 a^{n+1}+\left[\binom n 0 + \binom n 1\right]a^n b+\left[\binom n 1+\binom n 2\right] a^{n-1}b^2+\dots+\left[\binom n {n-1}+\binom n n\right]ab^n+\binom n n b^{n+1}$$
Dado que \(\binom n k+\binom n {k+1}=\binom {n+1}{k+1}\), y que se cumplen las igualdades \(\binom n 0=\binom {n+1}0\) y  \(\binom n n = \binom {n+1}{n+1}=1\), se tiene
$$(a+b)^{n+1}=\binom {n+1}{0}a^{n+1}+\binom{n+1}{1}a^n b+\binom{n+1}{2} a^{n-1}b^2+\dots+\binom{n+1}{n}ab^n+\binom{n+1}{n+1}b^{n+1}$$
que es \(A_{n+1}\), o sea se cumple para el \((n+1)\)-ésimo término.

Ahora, como la fórmula es válida también para \(n=1\):
$$(a+b)^1=\binom 1 0 a+\binom 1 1 b=a+b$$
se puede asegurar que el Teorema del binomio es válido para todos los números naturales \(n\).


Fuente: Courant, R. Introducción al cálculo y al análisis matemático. Vol. 1. México: Ed. Limusa.

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