miércoles, 8 de mayo de 2013

Inducción 2

aserto: proposición en que se da como cierto algo(*)



La inducción también nos sirve para usarla en desigualdades. Por ejemplo, para demostrar la validez del aserto \(n!\gt3^n\):

Es claro que para los primeros valores de \(n\) no se cumple: \(1!=1\ngtr 3^1=3\), \(2!=4\ngtr3^2=9\), \(3!=6\ngtr3^3=27\), y lo mismo pasa hasta \(n=6\), pero para \(n=7\) se tiene \(7!=5040\gt 2187=3^7\). Luego, podemos intuir que el aserto es válido para toda \(n\geq7\).

Ahora bien, la hipótesis nos dice que se cumple para \(n=k\), ¿se cumplirá entonces para \(n=k+1\)?

Tomemos en cuenta primero que \(k+1\gt3\) para toda \(k\geq3\), que no contradice nuestra condición inicial donde \(k\geq7\). A continuación podemos multiplicar la desigualdad existente por el aserto, para así obtener:

$$k+1\gt3$$
$$k! \gt 3^k$$
$$k! \cdot (k+1)\gt 3^k\cdot 3$$
$$ (k+1)!\gt 3^{k+1}$$

es decir, si el aserto se cumple para \(k\) también se cumple para \(k+1\).

Por lo tanto, \(n!\gt3^n\)se cumple para \(n=7, 8, 9, \dots\).

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