sábado, 17 de marzo de 2012

Serie 1/k

Me estaba matando la serie  porque no entendía las demostraciones de que no converge. Las que había visto hacían una agrupación de términos, que empezaba con pocos y luego se hacía de más (al fin y al cabo la serie tiene infinitos términos), y cada grupo tenía la característica de sumar una cantidad específica que, suponiendo que esto pudiera hacerse hasta el infinito, significaba que esa cantidad concreta se multiplicaba por todos los grupos formados (infinitos).


No me convenció asumir que cada grupo alcanzaría el valor “contable” para sumarse, así que intenté mi propia demostración. Creo que me compliqué un poco pero de todos modos me salió y eso me pone muy feliz porque al menos me parece que evadí ese inconveniente.

Demostración de la no convergencia de :

Aplicando la función exponencial a la serie tenemos



Si bien cuando   entonces , pero en realidad sucede siempre que   y por lo tanto .

Es decir, se trata de una multiplicación de infinitos números mayores a 1, luego su resultado tiende a infinito.

Así, para eliminar la operación realizada al aplicar la función exponencial basta con imaginar el logarítmo natural de dicho número, que también tenderá a infinito, resultando que la serie no es convergente.

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